Geometria

Afluentes: Usabilidade, Desenvolvimento Web, Mobile e Jogos

Introdução

• Geometria é a área da matemática que estuda as propriedades e relações das figuras no espaço.
• Fundamental para a computação gráfica, pois permite representar objetos de maneira estruturada.
• Facilita a manipulação e transformação de elementos gráficos em jogos e simulações.

Na computação gráfica, utilizamos conceitos geométricos para modelar cenários, animar personagens e criar efeitos visuais. As principais ferramentas para isso são as coordenadas cartesianas, transformações geométricas e o uso de matrizes para manipulação de objetos.

• Utilizamos escalares, pontos e vetores para representar quantidades, posições e direções.
• Através da combinação de operações sobre esses elementos podemos representar objetos geométricos e realizar o processamento necessário para a síntese de imagens.

Conceitos Básicos

• A base da geometria computacional são os pontos, linhas e polígonos.
• Pontos: elementos espaciais representados por coordenadas.
• Linhas: conectam dois pontos.
• Polígonos: formados por múltiplos segmentos.

Elementos básicos da geometria representados por um ponto no espaço bidimensional, uma reta e um polígono com 5 lados não isométricos.

Coordenadas Cartesianas

• Um sistema de referência baseado em eixos:
  • X e Y (em 2D) ou
  • X, Y e Z (em 3D)
• Os eixos são usado para posicionar elementos gráficos.

Gráfico bidimensional contendo o eixo x horizontal, o eixo y, vertical, e alguns pontos aleatórios distribuídos pelo gráfico com sua posição (x, y).

A seguir temos um exemplo de programa em python, com o uso da biblioteca pygame, para criar linhas e polígonos. Não estamos desenhando um ponto porque visualmente seria apenas um pixel. Usamos os pontos para criar as linhas e demais elementos.

import pygame

# Estamos usando a biblioteca pygame.
pygame.init()

screen = pygame.display.set_mode((500, 500))
clock = pygame.time.Clock()

running = True
while running:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            running = False

    screen.fill((255, 255, 255))
    # Desenhamos uma linha na tela, do ponto (30, 50) ao ponto (180, 200)
    pygame.draw.line(screen, (255, 0, 0), (30, 50), (180, 200))
    # Desenhamos um poligono ocm base no vetor de pontos passado como parâmetro.
    pygame.draw.polygon(screen, (0, 0, 255), [(200, 100), (300, 50), (400, 100), (350, 200), (250, 200)])
    pygame.display.flip()
    clock.tick(60)
pygame.quit()

O código acima gera a representação visual mostrada abaixo.

Imagem resultado da visualização do programa em linguagem de programação python usando biblioteca pygame com uma linha e um polígono de cinco lados.

Espaço Vetorial

Um espaço vetorial contém um conjunto de escalares e um conjunto de vetores. Usaremos letras minúsculas (a,b,…) para denotar escalares, e letras em negrito (u,v,…) para denotar vetores.

• Um escalar é um número real ou complexo que representa uma quantidade ou medida.
• Um vetor é um ente matemático abstrato de um conjunto V fechado para as seguintes operações:

Transformações Geométricas

• As transformações geométricas são as alterações na posição, tamanho e orientação de objetos gráficos. As principais são:
  • Translação: Deslocamento de um objeto sem alterar sua forma.
  • Rotação: Giro de um objeto em torno de um ponto específico.
  • Escala: Aumento ou redução do tamanho de um objeto.

Vamos ver mais sobre transformações geométricas no plano (2D) e no espaço (3D) nas próximas aulas.

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Representação

O plano é um espaço bidimensional de dois vetores, x e y, representando os eixos horizontal e vertical respectivamente respectivamente. Para representarmos um objeto no plano, precisamos de no mínimo um ponto, mas apenas um ponto pode não ser fácil de visualizar a não ser que coloquemos um marcador (+ ou x) no nosso gráfico. Para representar uma reta, usamos dois pontos e ligamos esses pontos com uma linha. A partir daí, com a conexão de pontos, podemos modelar objetos mais complexos.

class Point2D:
    def __init__(self, x: float, y: float):
        self.x: float = x
        self.y: float = y

O espaço tridimensional, por sua vez, é composto por três vetores, sendo eles o eixo x (horizontal), o eixo y (vertical) e, agora, o eixo z, que representa a profundidade Dessa forma, cada ponto é representado por (x, y, z).

class Point3D:
    def __init__(self, x: float, y: float, z: float):
        self.x: float = x
        self.y: float = y
        self.z: float = z

Desenhando um Triângulo em um espaço bidimensional

O código abaixo cria um triângulo no plano (2 dimensões), ligando três pontos que estão conectados sequencialmente. A representação do ponto, já vimos acima e usamos uma estrutura de dados, no caso um objeto, com duas informações básicas, x e y, sendo atributos com tipo ponto flutuante. E para representar o triângulo, usamos um vetor de três pontos, ligando o ponto 0 com 1, 1 com 2 e 2 com 0 novamente para fechar o triângulo.

import pygame

class Point:
    def __init__(self, x: float, y: float):     # Nosso constructor do Ponto
        self.x: float = x                       # Inicializamos o x
        self.y: float = y                       # Inicializamos o y

screen = pygame.display.set_mode((800, 600))    # Inicializamos o pygame
triangle : list[Point] = [                      # Criamos nosso triângulo
    Point(50, 100),                             # Primeiro ponto
    Point(100, 50),                             # Segundo ponto
    Point(150, 100)                             # Terceiro ponto
]
while True:                                     # Iniciamos o laço do gameloop
    for event in pygame.event.get():            # Testamos os eventos
        if event.type == pygame.QUIT:           # Se for o evento QUIT (botão x da janela)
            sys.exit(0)                         # Fechamos o programa
        elif event.type == pygame.KEYDOWN:      # Se uma tecla for pressionada
            if event.key == pygame.K_ESCAPE:    # E essa tecla for ESC
                sys.exit(0)                     # Fechamos o programa
    
    screen.fill((255, 255, 255))                # Pintamos o fundo de branco

    pygame.draw.line(screen, (0, 0, 0),         # Criamos nossa primeira linha
        (triangle[0].x, triangle[0].y),         # conectando o ponto 0
        (triangle[1].x, triangle[1].y))         # com o ponto 1
    pygame.draw.line(screen, (0, 0, 0),         # Criamos nossa segunda linha
        (triangle[1].x, triangle[1].y),         # conectando o ponto 1
        (triangle[2].x, triangle[2].y))         # ao ponto 2
    pygame.draw.line(screen, (0, 0, 0),         # Criamos nossa terceira linha
        (triangle[2].x, triangle[2].y),         # conectando o ponto 2
        (triangle[0].x, triangle[0].y))         # ao ponto 0

    pygame.display.flip()                       # Trocamos a página de desenho

Distância Euclidiana

Muitas vezes iremos precisar da distância entre dois pontos. Visualmente é mais ou menos fácil identificar quando os pontos estão no eixo x ou y se tivermos boas marcações. Mas para um programa identificar não é bem assim. Para isso temos uma fórmula que encontra pra gente a distância entre dois pontos, essa distância, chamada de Distância Euclidiana, no caso do espaço bidimensional, é a raiz quadrada de x2 menos x1 elevado ao quadrado mais y2 menos y1 elevado ao quadrado.

${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Funções Trigonométricas

Triângulo

Nas operações e transformações no plano ou espaço, precisaremos de algumas funções trigonométricas, então vamos fazer uma revisão aqui de um conteúdo lá do ensino médio.

Considere o triângulo da figura ao lado.

Para o ângulo α, chamamos de lado adjacente o lado que tem comprimento x, e de lado oposto o lado que tem comprimento y. O lado oposto ao ângulo reto, com comprimento h, é chamado de hipotenusa e satisfaz o Teorema de Pitágoras:

h2 = x2 + y2

As seis funções trigonométricas são definidas em relação ao ângulo α, como razões entre os comprimentos desses lados.

Funções Trigonométricas

Nome da Função	Definição
seno	sen α = y / h
cosseno	cos α = x / h
tangente	tg α = y / h = sen α / cos α
cossecante	csc α = h / y = 1 / sen α
secante	sec α = h / x = 1 / cos α
cotangente	cot α = x / y = 1 / tg α

As funções cossecante, secante e cotangente são raramente utilizadas na programação. Dessa forma, vamos estudar mais as funções de seno, cosseno e tangente.

O que torna as funções trigonométricas úteis é que para um dado ângulo α, as razões de comprimento dos lados de um triângulo retângulo contendo o ângulo α são sempre as mesmas. Assim, as funções seno, cosseno e tangente dependem apenas do ângulo α, e não do tamanho real do triângulo.

Em uma circunferência de raio r, um radiano é o ângulo α para o qual o arco circular subtendido por α tem um comprimento igual ao próprio r.

Valores de funções trigonométricas para ângulos comuns

radianos	graus	sen α	cos α	tg α
0	0º	0	1	0
π/6	30º	1/2	raiz(3)/2	raiz(3)/3
π/4	45º	raiz(2)/2	raiz(2)/2	1
π/3	60º	raiz(3)/2	1/2	raiz(3)
π/2	90º	1	0	indefinido