Geometria
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Introdução
- Geometria é a área da matemática que estuda as propriedades e relações das figuras no espaço.
- Fundamental para a computação gráfica, pois permite representar objetos de maneira estruturada.
- Facilita a manipulação e transformação de elementos gráficos em jogos e simulações.
Na computação gráfica, utilizamos conceitos geométricos para modelar cenários, animar personagens e criar efeitos visuais. As principais ferramentas para isso são as coordenadas cartesianas, transformações geométricas e o uso de matrizes para manipulação de objetos.
- Utilizamos escalares, pontos e vetores para representar quantidades, posições e direções.
- Através da combinação de operações sobre esses elementos podemos representar objetos geométricos e realizar o processamento necessário para a síntese de imagens.
Conceitos Básicos
- A base da geometria computacional são os pontos, linhas e polígonos.
- Pontos: elementos espaciais representados por coordenadas.
- Linhas: conectam dois pontos.
- Polígonos: formados por múltiplos segmentos.
Coordenadas Cartesianas
- Um sistema de referência baseado em eixos:
- X e Y (em 2D) ou
- X, Y e Z (em 3D)
- Os eixos são usado para posicionar elementos gráficos.
A seguir temos um exemplo de programa em python, com o uso da biblioteca pygame, para criar linhas e polígonos. Não estamos desenhando um ponto porque visualmente seria apenas um pixel. Usamos os pontos para criar as linhas e demais elementos.
pygame.init()
screen = pygame.display.set_mode((500, 500))
running = True
while running:
for event in pygame.event.get():
if event.type == pygame.QUIT:
running = False
screen.fill((255, 255, 255))
# Desenhamos uma linha na tela, do ponto (30, 50) ao ponto (180, 200)
pygame.draw.line(screen, (255, 0, 0),
(30, 50), (180, 200))
# Desenhamos um poligono com base no vetor de pontos passado como parâmetro.
pygame.draw.polygon(screen, (0, 0, 255),
[(200, 100), (300, 50), (400, 100), (350, 200), (250, 200)])
pygame.display.flip()
pygame.quit()
O código acima gera a representação visual mostrada abaixo.
Espaço Vetorial
O espaço vetorial contém um conjunto de escalares e um conjunto de vetores. No caso do plano, ou espaço bidimensional, temos dois vetores, x e y, representando os eixos horizontal e vertical respectivamente respectivamente. Para representarmos um objeto no plano, precisamos de no mínimo um ponto, mas apenas um ponto pode não ser fácil de visualizar a não ser que coloquemos um marcador (+ ou x) no nosso gráfico. Para representar uma reta, usamos dois pontos e ligamos esses pontos com uma linha. A partir daí, com a conexão de pontos, podemos modelar objetos mais complexos.
class Point2D:
def __init__(self, x: float, y: float):
self.x: float = x
self.y: float = y
O espaço tridimensional, por sua vez, é composto por três vetores, sendo eles o eixo x (horizontal), o eixo y (vertical) e, agora, o eixo z, que representa a profundidade Dessa forma, cada ponto é representado por (x, y, z).
class Point3D:
def __init__(self, x: float, y: float, z: float):
self.x: float = x
self.y: float = y
self.z: float = z
Desenhando um Triângulo em um espaço bidimensional
O código abaixo cria um triângulo no plano (2 dimensões), ligando três pontos que estão conectados sequencialmente. A representação do ponto, já vimos acima e usamos uma estrutura de dados, no caso um objeto, com duas informações básicas, x e y, sendo atributos com tipo ponto flutuante. E para representar o triângulo, usamos um vetor de três pontos, ligando o ponto 0 com 1, 1 com 2 e 2 com 0 novamente para fechar o triângulo.
import pygame
class Point:
def __init__(self, x: float, y: float): # Nosso constructor do Ponto
self.x: float = x # Inicializamos o x
self.y: float = y # Inicializamos o y
screen = pygame.display.set_mode((800, 600)) # Inicializamos o pygame
triangle : list[Point] = [ # Criamos nosso triângulo
Point(50, 100), # Primeiro ponto
Point(100, 50), # Segundo ponto
Point(150, 100) # Terceiro ponto
]
while True: # Iniciamos o laço do gameloop
for event in pygame.event.get(): # Testamos os eventos
if event.type == pygame.QUIT: # Se for o evento QUIT (botão x da janela)
sys.exit(0) # Fechamos o programa
elif event.type == pygame.KEYDOWN: # Se uma tecla for pressionada
if event.key == pygame.K_ESCAPE: # E essa tecla for ESC
sys.exit(0) # Fechamos o programa
screen.fill((255, 255, 255)) # Pintamos o fundo de branco
pygame.draw.line(screen, (0, 0, 0), # Criamos nossa primeira linha
(triangle[0].x, triangle[0].y), # conectando o ponto 0
(triangle[1].x, triangle[1].y)) # com o ponto 1
pygame.draw.line(screen, (0, 0, 0), # Criamos nossa segunda linha
(triangle[1].x, triangle[1].y), # conectando o ponto 1
(triangle[2].x, triangle[2].y)) # ao ponto 2
pygame.draw.line(screen, (0, 0, 0), # Criamos nossa terceira linha
(triangle[2].x, triangle[2].y), # conectando o ponto 2
(triangle[0].x, triangle[0].y)) # ao ponto 0
pygame.display.flip() # Trocamos a página de desenho
Distância Euclidiana
Muitas vezes iremos precisar da distância entre dois pontos. Visualmente é mais ou menos fácil identificar quando os pontos estão no eixo x ou y se tivermos boas marcações. Mas para um programa identificar não é bem assim. Para isso temos uma fórmula que encontra pra gente a distância entre dois pontos, essa distância, chamada de Distância Euclidiana, no caso do espaço bidimensional, é a raiz quadrada de x2 menos x1 elevado ao quadrado mais y2 menos y1 elevado ao quadrado.
Funções Trigonométricas
Nas operações e transformações no plano ou espaço, precisaremos de algumas funções trigonométricas, então vamos fazer uma revisão aqui de um conteúdo lá do ensino médio.
Considere o triângulo da figura ao lado.
Para o ângulo α, chamamos de lado adjacente o lado que tem comprimento x, e de lado oposto o lado que tem comprimento y. O lado oposto ao ângulo reto, com comprimento h, é chamado de hipotenusa e satisfaz o Teorema de Pitágoras:
h2 = x2 + y2
As seis funções trigonométricas são definidas em relação ao ângulo α, como razões entre os comprimentos desses lados.
| Nome da Função | Definição |
|---|---|
| seno | sen α = y / h |
| cosseno | cos α = x / h |
| tangente | tg α = y / h = sen α / cos α |
| cossecante | csc α = h / y = 1 / sen α |
| secante | sec α = h / x = 1 / cos α |
| cotangente | cot α = x / y = 1 / tg α |
As funções cossecante, secante e cotangente são raramente utilizadas na programação. Dessa forma, vamos estudar mais as funções de seno, cosseno e tangente.
O que torna as funções trigonométricas úteis é que para um dado ângulo α, as razões de comprimento dos lados de um triângulo retângulo contendo o ângulo α são sempre as mesmas. Assim, as funções seno, cosseno e tangente dependem apenas do ângulo α, e não do tamanho real do triângulo.
| radianos | graus | sen α | cos α | tg α |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0º | 0 | 1 | 0 |
| π/6 | 30º | 1/2 | raiz(3)/2 | raiz(3)/3 |
| π/4 | 45º | raiz(2)/2 | raiz(2)/2 | 1 |
| π/3 | 60º | raiz(3)/2 | 1/2 | raiz(3) |
| π/2 | 90º | 1 | 0 | indefinido |
Transformações Geométricas
- As transformações geométricas são as alterações na posição, tamanho e orientação de objetos gráficos. As principais são:
- Translação: Deslocamento de um objeto sem alterar sua forma.
- Rotação: Giro de um objeto em torno de um ponto específico.
- Escala: Aumento ou redução do tamanho de um objeto.
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